発散定理 - hiroki

訂正したので、3月17日の記事は消して、
共変外微分 - hiroki_fの日記
に移動。

発散定理というものがある。

$\int_V div {\bf X} d v=\int_{\partial V} {\bf X}\cdot {\bf n} ds$
みたいにかかれるものだ。

これをリーマン多様体上ではどう定義されるかを考えてて、共変微分との関係が気になっていた。

これは最初は関係ないといって、次に関係あると言った。で、やはり関係ないという結論になった。

$(div {\bf X}) dv = L_{\bf X} dv$
と発散がリー微分で定義されていた。

リー微分をつかってしまえば、共変微分は必要ない。

$L_{\bf X} dv =(d \iota_{\bf X} + \iota_{\bf X} d) dv = d \iota_{\bf X} dv$
なので、ストークスの定理が使えて、

$\int_V L_{\bf X} dv=\int_{\partial V} \iota_{\bf X} dv$
が成り立つ。

これより
$\int_V div {\bf X} dv=\int_{\partial V} {\bf X}\cdot {\bf n} ds$
が言える。

共変微分を使ったストークスの定理は、接続がリーマン接続の時にこれから導かれる。