光速はcolimit

圏論 「層・圏・トポス」勉強会

特殊相対論では、ある慣性系から別の慣性系への座標変換はローレンツ変換で与えられ、
次元が二次元(t,x)の場合は、
\begin{equation}L(\theta)=\begin{pmatrix}&cosh \theta &-sinh \theta \\&-sinh \theta &cosh \theta\end{pmatrix}\end{equation}
となる。

四元速度をuとすると、四元速度の合成は、
\begin{pmatrix}&u'^0 \\&u'^1\end{pmatrix}=L(\theta)\begin{pmatrix}&u^0 \\&u^1\end{pmatrix}
となる。

通常の速度は、v=u^1/u^0で与えられる。

速度の関係は、0≦θ<∽をつかって
0-θ→v-θ'→v'‥‥　||壁　光速　c=1
と表すことができる。合成法則はθ+θ'

各速度vに足して、∽で移してあげるつまり、
\begin{pmatrix}&\infty \\&\infty\end{pmatrix}=L(\infty)\begin{pmatrix}&u^0 \\&u^1\end{pmatrix}
とすれば、この比をとると∽:∽=1：1となり光速となる。

つまり、任意のvに対して、
v-∽→c
となる。

また、
L(θ)L(∽)=L(∽)
より、　
v-θ→v'
｜ ｜
∽　　∽
↓ ↓
c　＝　c
は可換


更に、光速cはどんな座標系でも一定なので、光速からローレンツ変換で他の速度に移ることはない。

よって、光速cは圏でのcolimitになっている。

ここでは、射をローレンツ変換(θ>0)、対象を速度で圏を定義した。
部分圏を光速より小さいの速度とした。