"Quantropy" John C. Baez, Blake S. Pollard

ゆらぎについて、気になること - hiroki_fの日記
に書いたことで、檜山さんから、
"Quantropy" John C. Baez, Blake S. Pollard
http://arxiv.org/abs/1311.0813
を紹介してもらった。

ざっと紹介すると
統計力学と量子力学は、どちらも経路積分で書くことができて、次のような類似性がある。

ここで、???としているのは、対応物がないもの。

そこで、著者らは、
Entropyに対応するものとして、Quantropyを新たに提案している。

これが定義できるとfree energyに対応するものも自動的にきまる。

統計力学と量子力学の違いは、数式的には、つまるところ、
temperature: T と　Planck’s constant times i: i h
の違いしかない。

そういうことで、Quantropyを定義して、上の表を埋めましょうって話になっている。

エントロピーの複素数のバージョンを作るのだが、これがどうもうまくいくみたい。

で表として

Statistical Mechanics	Quantum Mechanics
states: x ∈ X	histories: x ∈ X
probabilities: p: X → [0, ∞)	amplitudes: a: X → C
energy: E : X → R	action: A: X → R
temperature: T	Planck’s constant times i: ih
coolness: β = 1/T	classicality: λ = 1/ih
partition function: Z =∫exp(-βE(x)) dx	partition function: Z =∫exp(-λA(x)) dx
Boltzmann distribution: p(x) = exp(-βE(x))/Z	Feynman sum over histories: a(x) = exp(-λA(x))/Z
entropy: S = -∫p(x) ln p(x) dx	quantropy: Q = -∫a(x) ln a(x) dx
expected energy: = ∫p(x)E(x) dx	expected action: < A > = ∫a(x)A(x) dx
free energy: F = - T S	free action: Φ = < A > -i h Q
= -d/dβ lnZ	< A > = -d/dλ lnZ
F = -1/β lnZ	Φ = -1/λ lnZ
S = lnZ - β d/dβ lnZ	Q = lnZ - λ d/dλ lnZ

quantropyの部分が面白かった。これは単なるアナロジーではなく、意味があるものだというのが著者の主張。

この論文では量子力学として、自由粒子の経路積分の例が示されている。僕としては、多体系として自由粒子をたくさん用意した系を考え、表の左から右へ行く方法が分かれば、もっと面白いと思うのだけど、どうしたものだろうか。

物理にしては、あまりにも単純な系を考えすぎていて、他の系でもそうそううまくいくだろうかという疑問も残った。