abstract nonsense
あー、僕はabstract nonsenseの意味を忘れていた。代数系の表現の次元について、うっかりしていた。
ジョニーへの伝言：3点テンパリー／リーブ代数の行列表現 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
Temperley-Lieb Algebraを量子論の枠組みで捉えようとしたあまりに、Temperley-Lieb Algebraに変な制限をつけて考えてしまった。双対という考え方がtraceの定義を定めるのにうまくいってしまったせい(もしかしたら誤解？)で、3点のTemperley-Lieb Algebraは3次元空間で表現されるものだと思い込んでしまった。
恥ずかしい間違え方だ。
よーく考えれば、例えば物理でもローレンツ群の表現空間は
(2A+1)(2B+1)次元 A,Bは半整数 整数
で与えられるので、スカラー場(0,0)(1次元)、ベクトル場=混合スピノル場(1/2,1/2)(4次元)と直感的に理解できる表現空間だけでも複数ある。
traceも具体的にどうだこうだとかを考えないで虚心坦懐に紐から○を構成して、
以下の性質を満たすものと考えたらよいのかもしれない。
あーでも、ブラとケットが気になる。
どうしても、演算子を見たときに、どういう集合からどういう集合への写像になっているのだろうといちいち考えてしまう。圏論的でない集合論に基づいた考え方だけど、圏論は集合なんて気にしてないんだよな。
檜山さんのおかげで理解がふかまったような気がする。
ありがとうございました。
そういえば、檜山さんの出した8×8の表現行列のtraceを計算すると、絵図での○の数と対応がつく。値も一緒だ。
追記：檜山さんはそうなるように表現行列を作ったとのこと。
