ネーターの定理に関するツブヤキ
ゆっくり考察する暇がないので、メモ。いろいろ指摘してくださったかたありがとうございます。
ツブヤキはここ
僕は、「ラグランジアンまたは作用について、その中の変数φについて連続的な変数変換Gがあれば、それはすなわちリー群であり、よってそれに付随するリー環gがあって、それこそが無限小変換そのものであり、保存則はそれに関連して導出される」と考えてた。
連続的な変数変換は、正確には
変数φが位相空間上Mの点であって、群Gもとある位相空間上Nの点であり、群Gによって誘導される写像πG：N×M∋(G,φ)→πG(φ)∈Mが写像として連続である
と定義する。
群Gが住む位相空間Nはどんなものか?
パラメータ空間上の微分同相写像については、リー群と言ってよさそう。
http://t.co/6orpeEB
リー群だったら、リー環が付随してくるので、話はめでたし。
Q 可微分はとってもよいのか？あとの条件は維持。局所的にはR^nと同相で連続(離散的な位相はもちろん不可)
A よさそう。wikiによると「Gが位相多様体で連続な群演算をもつならGをリー群にできる」らしい。
Q 連続でないとする。群Gがたんなる位相空間上の点
A ダメそう まぁ、そうだろう。
@H_H 無限次Galois拡大(たとえばQの代数閉包)のGalois群を考えると、pro-finite群と呼ばれる位相群が現れます。この群は有限離散群の無限直積の部分群になるので自然に位相が入り、位相群になります。が、どう見てもLie群ではなさそう
Q 帰納的極限がとれる。連続ぽい。
A 一般的にはダメ。位相空間としての帰納極限を取っても群演算が連続にならない例があるらしい。局所コンパクト群ならOKらしい。http://t.co/eDKdZYj
Q 立場を変えて、無限小変換がリー環じゃないものから考えてみる。
A マオさんの指摘からだけど、具体的のどう構成したらネーターの定理に結び付けられるかがわからなかったです。
Q 対称性は連続なものだけか？
A そうとはかぎらない。鏡像変換とかあるしね。
Q 不連続な対称性についても、保存則が導くことができるか？
A できるかもしれないけど、どう定式化すれば分からない。てか考えてない。
