ラグランジュ微分はリー微分

ラグランジュ微分はリー微分ってことについてのメモ。

知ってる人は知ってるとは思うけど、そういう記述があまりない。たぶん、数学的な準備にそれなりに時間がかかるのが原因かと。

１　流れ場というのは、四次元空間Mにある点pを別の点φ(p)に移す写像φとみなせる。
２　φという写像があれば、それに誘導されるベクトル場に関する写像
　φ_*　TpM →Tφ(p)M
が定義できる。
３　ベクトル場のリー微分：ベクトル場の差は、この誘導された写像を用いて定義すれば良い。微分はその極限をもって定義する。

ここまでが松本の本に書いてある内容

４　テンソル場や微分一形式のリー微分：φ_*からその双対写像である
φ^*　T*φ(p)M →T*pM
が誘導される(写像による引き戻し)。これを用いて微分一形式のリー微分が求まる。対称テンソル場は微分一形式やベクトル場の直積で定義されるので、ベクトル場や微分一形式のリー微分から誘導することができる。反対称テンソル場(面積、体積など)のリー微分は微分一形式のリー微分から誘導される。