フェーザ法について - hiroki

電気回路でよくやるフェーザ法について。フェーザ法は電気回路を解析する上では有効な方法だ。この数学的な背景を説明しようと思う。簡単なことだけど、学部生に説明する機会があったので、せっかくなのでここにメモ。これは過去に書いたエントリーの続き。

フーリエ変換 - hiroki_fの日記
 AD DA変換サンプリング定理 - hiroki_fの日記

電気回路の方程式はLCR回路に見るように線型方程式になっている。
ここで重要なのは線型性。

線型とは、Lが関数空間から関数空間への写像としたときに、関数f(x)とg(x)について
L[f(t)+g(t)]=L[f(t)]+L[g(t)]
がなりたつことだ。

電気回路では入力f(t)に対する出力L[f(t)]が重要になる。このときLが実際の回路を反映することになる。実際の回路が入力に対して線型であるとは限らず、線型性Lは近似にすぎない。

線型性を破る例としては、抵抗Rが電流Iに依存する場合とかが考えられる。
例えば、入力として電流I、出力として電圧Vを見る場合に、抵抗がRが電圧に依存する場合には、
$(I_1+I_2) R_{_{(I_1+I_2)}}\not=I_1 R_{_{I_1}}+I_2 R_{_{I_2}}$
が成り立つことは明らかだ。

入力f(t)にはフーリエ級数展開すると
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n sin w_n t + b_n cos w_n t$
となる。ここで注意したいのは、関数を直交関数系 $sin w_n t cos w_n t$ で展開した時の係数 $a_n b_n$ が、関数f(t)の情報をもっていることだ。

回路方程式が線型であるときに、
$L[f(t)]=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n L[sin w_n t]+b_n L[cod w_n t]$
が成り立つ。

これをもう少し便利な形に書き換える。合成の公式より
$a_n sin w_n t+ b_n cos w_n t= c_n sin(w_n t +\alpha_n)$
が成り立つので、

$L[f(t)]=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n L[sin (w_n t +\alpha_n) ]$
と書くことができる。

だいたいの電気回路では、入力をに電圧Vとして出力を電流Iとしている。このとき回路方程式は線型方程式で、
M[I(t)]=V(t)
となり、出力から入力を求める逆問題になっている。ここでMが線型演算子なので、
$M[I_1(t)+I_2(t)]=M[I_1(t)]+M[I_2(t)]$
が成り立つ。入力をI(t)を
$I(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n sin (w_n t +\alpha_n)$
で展開する。Mの線型性より
$M_{w_n}[c_n sin (w_n t +\alpha_n)]$
について調べれば十分。ここで、
$c_n sin (w_n t +\alpha_n)$ を $c_n exp(j \alpha_n) exp (j w_n t)$
に対応させる。このときにMが
$M[c_n sin (w_n t +\alpha_n)]=d_n sin (w_n t +\beta_n)$
で与えられたときに、これに対応する関係を適当な複素数値 $Z(w_n)$ を用いて、
$Z(w_n) c_n exp(j \alpha_n) exp (j w_n t)=d_n exp(j \beta_n) exp (j w_n t)$
と表す。