ホッジ作用素とは？

数学

ホッジ作用素とは、微分形式u vについて
u \wedge *v=g(u,v)\sqrt{-g}d x^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3
で定義される同形線形写像
＊: n-form → (4-n)-form (今回の例:1-form → 3-form)
のことである。

まぁ、なんのことか分かりにくいので、具体例で考える。

速度場TpMの元である反変ベクトル u v を考える。u,vは、近傍座標が与えられた時に
u=u^k\frac{\partial}{\partial x^k}
v=v^l\frac{\partial}{\partial x^l}
と書ける。計量gが与えられたときに、u vから一形式である共変ベクトル
u=g_{ik}u^k dx^i=u_i dx^i
v=g_{jl}v^l dx^j=v_j dx^j
を得る。
u \wedge *v=g(u,v)\sqrt{-g}d x^0 \wedge x^1 \wedge x^2 \wedge x^3
を計算すると
u \wedge *v = g^{ij}u_i v_j \sqrt{-g} dx^i \wedge \hat {dx^i}
となる。ここで、\hat {dx^i}は、dx^iだけを抜いた3形式。
例\hat {dx^0}=dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3

よって、
*v = g^{ij}v_j \sqrt{-g} \hat {dx^i}
つまり、
*v = v^i \sqrt{-g} \hat {dx^i}