リーマン多様体上の積分について

車のタイヤがパンクした。タイヤの横を縁石でかすったらあっけなくパンク。だいぶ磨り減って、そろそろ交換しないといけなかったので、まぁいいか。

ホッジ作用素とはなんたるかを語ろうと思って、だらだら続いているエントリーだけど、しばらく続きそう。こういうところに記事を書いとくと誰かの役に立つかもしれないし、微分幾何と物理の関係を書いてある文章もほとんどないしね。今日のメインはストークスの定理だけど、数学者は計量のある空間でのストークスの定理には興味ないらしく、これから書く記事はオリジナルな内容。微分形式の幾何学に測度論をちょこっと入れただけなのでたいしたことはない。

そういえば、ポントリャーギンの「やさしい微積分 (ちくま学芸文庫ホ 13-1 Math&Science)」はすごく良くできた本だ。読んで目が覚めたことも多い。

ところで、不定積分と定積分の違いはわかるであろうか？この違いは見た目以上に大きい。

記号で書けば、不定積分は、
$\int f(x)dx$
で、定積分は、
$\int_a^b f(x)dx$
で単に積分範囲が決められているかいないかだけの違いにすぎないように思える。