一般相対性理論のゲージ理論的見方(3)

なんとなく続いてきた本シリーズ。これで一区切り。
一般相対性理論のゲージ理論的見方(1) - hiroki_fの日記
 一般相対性理論のゲージ理論的見方(2) - hiroki_fの日記

あと、檜山さんがこれに関連して、こんなエントリーを書いてくれました。
時計とポールで学ぶファイバーバンドル - 檜山正幸のキマイラ飼育記
電磁場のゲージ理論の話と圏について。接続を表す時計の絵が素敵です。
わかりやすいので、一読をおすすめします。

今回の僕のエントリーの内容は微分形式 - hiroki_fの日記の続き。接続の話は全く出てきません。

ストークスの定理(ガウスの発散定理)とは、Fをベクトル場としたときに成り立つ
$\iiint_V div {\bf F} dxdydz= \iint_{\partial V} {\bf F}\cdot {\bf n} dS$
のこと。

今回、考えてみたいのは、ストークスの定理をどうやってリーマン多様体(M,g)上で拡張するか。
もっと言えば、一般相対論でのストークスの定理がどうなるのかということ。

よく知られているようにストークスの定理は、微分形式を用いて
$\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega$
と一般化することができる。幾何学ではコホモロジーを調べるための道具になる。

ストークスの定理は物理学では、Flow流れを解析するのに使う。
$\iiint_V div {\bf F} dxdydz= \iint_{\partial V} {\bf F}\cdot {\bf n} dS$
だったら、発散div Fを体積Vで積分すると、それはVの境界∂Vから流入する流れFを境界∂Vで積分したのと等しいみたいに解釈する。

さて、ディラックの一般相対性理論 (ちくま学芸文庫)の25章は
一般相対論的なストークスの定理、ガウスの定理についてである。

この本では、反変ベクトルAの発散を
$A^i_{;i}=A^i_{,i}+\Gamma^i_{ji}A^j=A^i_{,i}+\sqrt{-g}^{-1}\sqrt{-g}_{,j} A^j$
「;」は共変微分、「,」普通の微分
から、
$A^i_{;i}\sqrt{-g}=(A^i\sqrt{-g})_{,i}$
を導いて、
$\int A^i_{;i}\sqrt{-g}d^4 x=\int(A^i\sqrt{-g})_{,i}d^4 x$
を得ている。
そして、右辺はガウスの発散定理を用いて3次元の表面積分に直せる。
こうして、相対論的なストークスの定理を得ることができる。

この説明の中では、共変微分「;」が出てきた。しかし、最後に得られる式
$\int(A^i\sqrt{-g})_{,i}d^4 x$
には、共変微分は出てこない。

僕はこれを読んで、以下のことを考えた。

1.相対論的なストークスの定理の、共変微分「;」がきえてしまった理由は？?
2.微分形式によるストークスの定理の一般化との関係は？
$\int_{C} d\omega = \int_{\partial C} \omega$

微分形式のストークスの定理を見ると、共変微分はどこにも入ってない。

結論を言うと、

野水　小林のfoundation of differential geometryを参考
$(div {\bf X}) dv = L_{\bf X} dv$
と発散がリー微分で定義されていた。
リー微分をつかってしまえば、共変微分は必要ない。
$L_{\bf X} dv =(d \iota_{\bf X} + \iota_{\bf X} d) dv = d \iota_{\bf X} dv$
なので、ストークスの定理が使えて、
$\int_V L_{\bf X} dv=\int_{\partial V} \iota_{\bf X} dv$
が成り立つ。
これより
$\int_V div {\bf X} dv=\int_{\partial V} {\bf X}\cdot {\bf n} ds$
が言える。
共変微分を使ったストークスの定理は、接続がリーマン接続の時にこれから導かれる。

$\int A^i_{;i}\sqrt{-g}d^4 x=\int(A^i\sqrt{-g})_{,i}d^4 x$

最初に微分形式のストークスの定理について説明をしたいと思う。
$\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega$
この定理をちゃんと説明するのはめんどくさいけど、エッセンスだけだったら大したことない。

この式のCの領域を[tex:(0曲線と曲面の微分幾何

つまり、ストークスの定理とは、任意の多様体上で定義された微分形式ωについて成り立つ一般的な法則なのだ。そこには、計量とか接続とかの概念はない。

次に体積要素について。

体積要素について説明する。

面積もしくは体積とはなんだろう？

答え。多様体上のある領域Vから実数の写像を決めること。もちろん座標系によってはならない。

相対論では、体積要素は $\sqrt{-g}d^4 x$ の4形式で与えられる。
つまり、領域Vの体積は
$\int_V \sqrt{-g}d^4 x$
で与えられる。詳しい話は、リーマン多様体上の積分について - hiroki_fの日記に書いた。

微分形式のストークスの定理
$\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega$
は、多様体上で定義された微分形式一般についてなりたった。
そこで、 $*v = v^i \sqrt{-g} \hat {dx^i}$ について当てはめてみる。
$\int_C d*v = \int_{\partial C} *v$
これを計算すると
$\int_C \frac{\partial}{\partial x^i}(v^i \sqrt{-g}) dx^i \wedge \hat {dx^i} = \int_{\partial C} v^i \sqrt{-g} \hat {dx^i}$
となり、まさに求めていたストークスの定理
$\int(v^i\sqrt{-g})_{,i}d^4 x$
となった。