共変外微分

微分形式の計算には外微分dがあるけど、これはM上の値を実数(複素数)に持つn形式のみを計算できる。速度場uは、M上ではなくファイバー上TpMで定義されているの値なので、このままでは外微分が定義できない。そこで、新たに共変外微分Dを定義する。
値をTpMに持つn次形式ξを考える。TpMの値θ(速度のこと)とし、M上に定義されたn形式をωとおく。任意のξは、

ξ=θωとかける。

共変外微分を

Dξ=∇θΛω+θdω

で定義する。

これで、速度場uを値に持つn形式の共変外微分を計算することができる。

で、*uの場合は、速度場uに値を持つ3形式だが、リーマン接続の場合に限って、ごちゃごちゃ計算すると、たまたま

D*uをd*uとしても

結論は変わらない。

本来*uに共変微分は定義されてないのだが、*uに限り定義されているように使っても大丈夫。